تعیین چیدمان بهینه‌ فولاد تسلیح دیوار برشی با بازشو با رویکرد مدل خرپایی

- مقدمه

استفاده از دیوار برشی در ساختمان‌های بتن آرمه به عنوان یک سیستم باربر جانبی دو‌گانه مرسوم می‌باشد. با توجه به سختی درون صفحه‌ا‌ی دیوارهای برشی، این دیوار‌ها بیشترین سهم نیروی برشی ناشی از بار زلزله را تحمل می‌کنند؛ همچنین استفاده از دیوار برشی باعث افزایش شکل‌پذیری و محدود نمودن تغییر مکان جانبی ساختمان می‌گردد. در ساختمان‌های متوسط معمولاً به دلیل مسائل معماری و تأسیساتی دیوارهای برشی اطراف آسانسور و دستگاه پله قرار می‌گیرد؛ و در ساختمان‌های بلند مرتبه با توجه به طول قابل توجه ساختمان دیوارها‌ی مورد نیاز در دو جهت متعامد و در لبه‌های خارجی ساختمان قرار می‌گیرند. استفاده از نور برای فضاهای داخلی و نیاز به دسترسی از یک طرف به طرف دیگر، وجود بازشو داخل دیوار را اجتناب ناپذیر می‌کند. بازشدگی در دیوار بر رفتار لرزه‌ای آن تأثیر می‌گذارد و دیگر از روش‌های معمول آئین‌نامه‌ای نمی‌توان به طراحی دیوار برشی پرداخت و نیاز به تمهیدات خاصی برای تسلیح اطراف بازشو می‌باشد.

یکی از راه‌های طراحی این اعضا روش مدل خرپایی^[1] می‌باشد. مدل خرپایی که به آن سیستم تعادلی نیز گفته می‌شود [1] یک راه‌حل پلاستیکی کران پائین از تحلیل حدی می‌باشد که جریان پیچیده تنش‌ در اعضای بتن مسلح را به صورت مجموعه‌ای از اعضای کششی، فشاری و گره‌ها ایده‌آل سازی می‌کند [2]. روش مدل خرپایی در سال 1899 توسط هنبیک مطرح و به وسیله‌ی ریتر و مورش ادامه داده شد [3]. امروزه بیشتر این روش را به نام اشلایچ و همکارن که در سال 1987 آن را متحول ساختند، می‌شناسند [4]. به طور کلی گام‌های طراحی به شیوه‌ی مدل خرپایی شامل مراحل زیر می‌باشد:

گام اول: تعیین شرایط مرزی.

گام دوم: تعیین مدل خرپایی مناسب و محاسبه‌ی نیروهای اعضا.

گام سوم: کنترل مقاومت اعضای فشاری و نواحی گرهی.

گام چهارم: تعیین فولادتسلیح اعضای کششی، کنترل طول مهاری و چیدمان آن.

در طراحی به روش مدل خرپایی با توجه به مدل پیشنهادی محل قرارگیری اعضای کششی مشخص شده و چیدمان فولاد تسلیح اصلی شکل می‌گیرد. مهم‌ترین گام طراحی در روش مدل خرپایی، مرحله‌ی انتخاب مدل مناسب می‌باشد. تا کنون روش‌های گوناگونی برای تعیین مدل خرپایی نواحی کرنش آشفته ارائه شده است. از جمله‌ی این روش‌ها می‌توان به روش الگوی حمل بار، روش الگوی ترک و روش حل الاستیک اشاره کرد. روش الگوی حمل بار، یک سیستم تعادل نامتوازن را نشان می‌دهد و باید با تعیین نیروهای اطراف منحنی بار به یک سیستم تعادل متوازن تبدیل شود. سپس الگوهای حمل بار و نیروهای موازنه شده، با اعضای کششی یا فشاری مناسب جایگزین می‌شوند و مدل خرپایی ازاین روش به دست می‌آید. روش الگوی ترک، برای استفاده از این روش تصویر الگوی ترک اعضایی که به صورت تجربی آزمایش شده‌اند و یا نواحی کرنش آشفته مشابه با عضو مد نظر طراح، باید موجود باشد تا بتوان از روی تصویر ترک آن‌ها، الگوی مدل خرپایی مناسب را پیشنهاد کرد. روش حل الاستیک، در این روش توزیع تنش الاستیک به صورت خطوط سیر تنش‌ یا تصویری از تنش‌های اصلی نشان داده می‌شود و اعضای فشاری به صورت موازی با تنش‌های فشاری اصلی قرار می‌گیرند و محل اعضای کششی به وسیله‌ی تنش‌های کششی اصلی مشخص می‌شود  [2].

انتخاب مدل‌های متفاوت برای اعضای مشابه، سخت بودن انتخاب مدل مناسب برای اعضای با پیچیدگی هندسی و شرایط بارگذاری و حتی در بعضی مواقع غیر ممکن بودن انتخاب مدل با روش‌های پیشین سبب روی آوردن محققین به سمت روش‌هایی که بتوان به صورت خودکار مدل خرپایی تعیین کرد، شد. امروزه در بسیاری از مراجع، از بهینه‌سازی توپولوژی پیوسته وگسسته برای تعیین خودکار مدل خرپایی استفاده شده است [10-5]. در سال 2001 لی‌یانگ و همکاران [11] با استفاده از روش ESO^[2] که مبتنی بر مفهوم ساده‌ی حذف تدریجی مواد ناکارآمد از سازه می‌باشد، به تعیین مدل خرپایی پرداختند. بروجی در سال 2009 [7] با استفاده از روش ^[3]SIMP و یک فیلترینگ جدید برای جلوگیری از پدیده‌ی شطرنجی شدن، به تعیین مدل خرپایی برای نواحی کرنش آشفته پرداخت. البته موضوع تعیین مدل خرپایی برای برخی از اعضای خاص نیز مورد توجه برخی از محققین بوده است. نگاریجین و پی‌لیا [12] در سال 2008 و لی و همکاران [13] در سال 2012 به ترتیب به تعیین مدل خرپایی تیرهای عمیق و اتصالات با استفاده از بهینه‌سازی توپولوژی پرداختند.

در این پژوهش با استفاده از بهینه‌سازی توپولوژی پیوسته با تابع هدف کمینه‌سازی انرژی کرنشی الاستیک مدل خرپایی بهینه برای دیوار برشی به دست آورده شد و بر خلاف تحقیقات قبلی مدل‌های حاصل از توپولوژی با استفاده از تحلیل اجزاء محدود غیرخطی مورد بررسی قرار گرفت و با مدل‌های با قید ساخت و مدل‌های پیشین مقایسه گردید. همچنین در این تحقیق به بررسی تأثیر پارامتر کسر حجمی برای تعیین مدل خرپایی بهینه پرداخته شد و در نهایت با بررسی سه مسئله‌ی عددی راهکاری برای چیدمان فولاد تسلیح دیوار برشی با بازشو ارائه شد.

در ادامه ابتدا شرایطی برای انتخاب مدل خرپایی بهینه تعریف می‌شود. سپس فرآیند بهینه‌سازی توپولوژی برای رسیدن به مدل خرپایی بهینه توضیح داده می‌شود. در پایان با استفاده از تحلیل اجزاء محدود غیرخطی مدل‌های خرپایی به دست آمده برای سه دیوار برشی با بازشو‌های مختلف با مدل‌های پیشین و مدل‌های با قید ساخت مقایسه می‌گردد.

2- مدل خرپایی بهینه

پیدا کردن مدل خرپایی بهینه تا کنون توجه محققین بسیاری را به خود جلب کرده است [1 و 4]. برای انتخاب مدل خرپایی مناسب و بهینه باید فاکتورهای زیر را در نظر گرفت تا مدل انتخابی بهینه، مناسب و کارا باشد.

1- تفاوت اساسی با میدان تنش واقعی نداشته باشد، تا سازه تغییر شکل قابل توجهی تحمل نکند و احتمال شکل‌گیری ترک‌های بزرگ کاهش بیابد.

2- حتی‌المقدور ساده بوده تا زمان  تحلیل بهینه باشد.

3- از نظر اجرایی پیچیده نبوده و قابلیت اجرا داشته باشد.

4- فولاد تسلیح مصرفی کمینه باشد.

طبق نظر اشلایچ و همکاران برای تعیین مدل مناسب، استفاده از این نکته مؤثر است که بارها برای انتقال به تکیه‌گاه‌ها خواهان استفاده از مسیری (مدلی) با کمترین نیرو وتغییر شکل می‌باشند. از آنجایی که اعضای کششی شکل‌پذیری بیشتری نسبت به اعضای فشاری بتنی دارند، مدل با کمترین وکوتاه‌ترین اعضای کششی بهترین می‌باشد [4]. این معیار ساده را می‌توان برای تعیین مدل بهینه‌ به شکل زیر رابطه‌ی‌‌‌‌‌ بندی کرد:

که در آن  نیروی اعضای کششی یا فشاری،  طول اعضای فشاری و کششی،  کرنش متوسط عضو می‌باشد. رابطه 1 از اصل کمینه‌سازی انرژی کرنش الاستیک برای رفتار الاستیک اعضای فشاری و کششی بعد از ترک گرفته شده است. چون کرنش بتن کم می‌باشد معمولاً از مشارکت اعضای فشاری در این رابطه صرف نظر می‌شود [4].  باید توجه داشت که یک مدل خرپایی بهینه‌ی مطلق برای یک مسئله‌ی خاص وجود ندارد، اما یک مهندس طراح با تجربه در زمینه‌ی طراحی به شیوه‌ی مدل خرپایی می‌تواند مدل ایمن را انتخاب کند. لازم به ذکر است تنوع در زمینه‌ی تعیین مدل خرپایی از معایب این روش نمی‌باشد، بلکه یک ویژگی است که به طراح، اجازه‌ی انتخاب مدل‌های متفاوت می‌دهد. البته انتخاب مدل مناسب از اهمیت ویژه‌ای برخوردار است و نمی‌توان هر مدلی را مدل مناسب در نظر گرفت و برای طراحان بی‌تجربه انتخاب مدل، سخت می‌باشد. از این‌رو در این پژوهش سعی شده تا با انتخاب کسر حجمی مناسب در مسئله‌ی بهینه‌سازی توپولوژی پیوسته، روشی برای تعیین مدل بهینه و مناسب ارائه شود و مطابق با مدل‌های به دست آمده چیدمان بهینه‌ی فولاد تسلیح برای دیوار برشی با بازشو ارائه گردد. باید توجه داشت در این تحقیق منظور از چیدمان بهینه، چیدمانی است که هم وزن میلگرد مصرفی کمینه و هم مقاومت نهایی بیشینه‌ای داشته باشد و مدلی بهینه‌ است که هر دو معیار را برآورده کند.

3- بهینه‌سازی توپولوژی

امروزه بهینه‌سازی توپولوژی ابزاری به­نسبت جدید در دست مهندسین طراح می‌باشد که از آن به طور گسترده در فرآیندهای طراحی استفاده شده است. این شاخه از بهینه‌سازی در صنعت اتومبیل‌سازی، هوافضا، ساخت و ساز و اکثریت علوم مهندسی کاربرد زیادی دارد. بهینه‌سازی توپولوژی به دو شاخه گسسته و پیوسته تقسیم می‌شود. «میشل» در سال 1904 اولین کسی بود که از معیار بهینه‌گی برای به دست آوردن چیدمان خرپایی با وزن کمینه استفاده کرد. 70 سال بعد رزوانی به همراه گروهی از محققین به بررسی تئوری میشل پرداختند. در سال 1977،  رزوانی و پراگر اولین تئوری کلی بهینه‌سازی توپولوژی گسسته را تحت عنوان تئوری چیدمان بهینه^[4]رابطه‌سازی کردند [14]. مقاله بندسو و کیکوچی^[5] در سال 1988 نقطه‌ی تحولی در تاریخ بهینه‌سازی توپولوژی بود، در واقع این مقاله نخستین حل عددی برای مسائل بهینه‌سازی توپولوژی سازه‌های پیوسته بود که در آن از روش اجزاء محدود کمک گرفته شده بود [15]. هدف اصلی در بهینه‌سازی توپولوژی پیوسته پیدا کردن چیدمان بهینه مواد در ناحیه معین برای انتقال بارهای وارده به نواحی مرزی می‌باشد.

در بهینه‌سازی توپولوژی پیوسته، محدوده‌ی طراحی به صورت فرضی گسسته‌سازی می‌شود و میدان جابه‌جایی با بی‌نهایت درجه آزادی به یک میدان گسسته با تعداد متناهی درجه آزادی تبدیل می‌شود. در این حالت تعداد متغیّرهای طراحی وابسته به تعداد المان‌ها می‌باشد. اگر فقط توالی و ارتباط بین المان‌ها مهم باشد می‌توان متغیّرهای طراحی را وجود و عدم وجود المان‌ها انتخاب کرد. به عبارت دیگر می­توان با رویکرد 0 و 1 وجود المان‌ را با 1 و عدم وجود المان را با 0 معین کرد. حل مسائل بهینه‌سازی با متغیّرهای طراحی گسسته به مراتب سخت‌تر از مسائل با متغیّرهای پیوسته می‌باشد.  متداول ترین شیوه برای حل این‌گونه مسائل اصلاح مسئله با جای­گزین کردن مقادیر پیوسته به جای مقادیر گسسته می‌باشد. از این‌رو متغیّرهای طراحی می‌توانند مقادیری بین 0 و 1 بگیرند. وجود المان‌هایی با مقادیر میانی (چگالی بینابین) در طرح باعث نامطلوب شدن طرح از دیدگاه مهندسی می‌شود [16]. این موضوع از دو دیدگاه قابل بحث می‌باشد، دیدگاه اول قابلیت ساخت (تولید) می‌باشد و دیدگاه دوم سختی کم در مقایسه با حجم مصالح مصرفی این المان‌ها می‌باشد [14]. از این‌رو مقادیر میانی باید به نحوی به سمت 0 و 1 سوق داده شوند. تا کنون راه‌های متفاوتی برای سوق دادن چگالی‌های بینابین موجود در طرح به سمت مقادیر 0 و 1 ارائه شده است که یکی از متداول‌ترین این راهکارها روش SIMP می‌باشد که مطابق با آن سختی مواد به تابعی موسوم به چگالی وابسته می‌شود که در این پژوهش از SIMP اصلاح شده [17] به شکل زیر استفاده شد :

که در آن   مدول الاستیسیته مواد (المان توپر یا 1) و  مدول الاستیسیته نواحی خالی (المان خالی یا 0) برای جلوگیری از تکین شدن ماتریس سختی می‌باشد.  متغیّر طراحی (چگالی مصنوعی) و توان  موجود در رابطه، پارامتر جریمه می‌باشد که چگالی‌های (متغیّرهای طراحی) بینابین را به سمت 0 و 1 سوق می‌دهد و باعث ایجاد طرحی که شامل فضای خالی و مواد است می‌شود.

3-1- کمینه سازی انرژی کرنشی الاستیک

     با توجه به مطالب اشاره شده در بخش 2 مبنی بر استفاده از انرژی کرنشی الاستیک برای تعیین مدل خرپایی بهینه و با استفاده از مدل SIMP برای مواد، مسئله‌ی کمینه‌سازی انرژی کرنشی الاستیک محیط پیوسته به شکل زیر تعریف می‌شود:

که در آن  و  بردار جابه‌جایی و نیرو و  ماتریس سختی کل سازه و  و  به ترتیب بردار جابه‌جایی و ماتریس سختی المان  ام می‌باشند.  و  به ترتیب حجم مواد و حجم ناحیه‌ی طراحی و  کسر حجمی تعیین شده می‌باشد [18 و 19]. بر اساس تئوری کلاپیرون تابع هدف ارائه شده در رابطه 3 بیان‌گر دو برابر انرژی کرنش الاستیک در حالت تعادل می‌باشد [7].

4- حل مسئله‌ی بهینه‌سازی

الگوریتم‌های متنوعی برای حل مسئله‌ی بهینه‌سازی توپولوژی مطرح شده است که از پرکاربردترین این الگوریتم‌ها می‌توان به الگوریتم معیار بهینه‌گی و الگوریتم مجانب‌های متحرک اشاره کرد. روش معیار بهینه‌گی یک روش ابتکاری است که توسط بندسو برای به روز رسانی متغیّر طراحی مطرح شده است. این روش یکی از مناسب‌ترین الگوریتم‌‌ها برای مسائل کمینه‌سازی انرژی کرنش تحت قید حجم می‌باشد [16 و 18]. در این الگوریتم مطابق رابطه 7 متغیّر‌های طراحی به روز رسانی می‌شوند:

 و  به ترتیب متغیّر تعدیل و حد تغییرات می‌باشند. این دو پارامتر تغییراتی که در هر چرخه‌ی گام به روز رسانی متغیّر‌های طراحی اتفاق می‌افتد را کنترل می‌کنند و برای کارایی روش قابل تنظیم می‌باشند. معمولاً 5/0  و 2/0  در نظر گرفته می‌شوند.  با توجه به شرایط بهینه‌گی به صورت زیر تعریف می‌شود:

که در آن  و   به ترتیب مشتق تابع هدف (نرمی) و مشتق قید (حجم) نسبت به متغیّر طراحی می‌باشد و  ضریب لاگرانژ برای قید حجم می‌باشد که در یک چرخه داخلی از روش نصف کردن یا روش نیوتن به دست می‌آید .

5- ناپایداری‌های عددی

مسئله‌ی کمینه‌سازی نرمی با مدل مواد SIMP ، سه مشکل عمده دارد که بر جواب نهایی اثر می‌گذارد. مسئله‌ی اول وابستگی مش می‌باشد که طی آن مش‌بندی متفاوت منجر به توپولوژی نهایی متفاوت می‌شود. این پدیده ناشی از افزایش سختی سازه در اثر افزایش تعداد فضای خالی ایجاد شده در طرح نهایی می‌باشد و این بدان معنا است که با یک مش‌بندی ریزتر امکان شکل‌گیری اعضای لاغرتر افزایش یافته و طرح نهایی از تعداد اعضای بیشتری برخوردار می‌باشد[7]. مسئله‌ی دوم ایجاد پدیده‌ی شطرنجی می‌باشد که در بسیاری از مراجع آن را ناشی از گسسته‌سازی میدان‌های سختی و جابه‌جایی توسط روش اجزاء محدود می‌دانند [20]. ناحیه‌ی شطرنجی که طبق نظر دیاز و سیگموند سختی کاذب دارد ناحیه‌ای را به وجود می‌آورد که در آن المان‌های توپر و توخالی تکرار شده و شکل حاصل به صورت یک صفحه‌ی شطرنج می‌باشد [21]. این پدیده تا کنون مورد مطالعه‌ی بسیاری از محققین بوده است و راهکارهای فراوانی برای غلبه بر آن ارائه شده است که از جمله‌ی آن‌ها می‌توان به استفاده از المان‌های مرتبه بالاتر، استفاده از فیلترینگ، استفاده از روش‌هایی موسوم به کنترل محیط، کنترل طول (ابعاد اعضا)، ایجاد قیود بر پدیده‌ی شطرنجی، جریمه کردن پدیده‌ی شطرنجی، المان‌های شش گوشه و غیره اشاره کرد که هر کدام نسبت به دیگری مزیت‌هایی دارند [22]. یکی از روش‌های پرکاربرد برای مقابله با این دو چالش استفاده از فیلتر کردن حساسیت تابع هدف نسبت به متغیّر طراحی مطابق با رابطه 9 می‌باشد که طی آن از تغییرات ناگهانی حساسیت اطراف المان جلوگیری می‌شود [19].

که در آن ، مجموعه‌ای از المان‌های  می‌باشد که فاصله‌ی مرکز آن المان‌ها تا المان  ام ( ) کمتر از شعاع فیلترینگ ( ) باشد، ( ) یک مقدار مثبت کوچک برای جلوگیری از صفر شدن مخرج و  یک ضریب وزنی می‌باشد که به صورت زیر تعریف می‌شود:

مسئله‌ی سوم وجود جواب‌های کمینه‌ی محلی در مسئله‌ی بهینه‌سازی توپولوژی می‌باشد. مسائل جریمه شده در حالت کلی غیرمحدب می‌باشند از این رو باعث بوجود آمدن جواب‌های کمینه‌ی محلی می‌شوند [20].  یکی از راه‌های مقابله با این ناپایداری استفاده از تابع جریمه‌ی پیوسته می‌باشد که در بعضی از مراجع به صورت تابع جریمه‌ی افزایشی اعمال می‌شود که در این پژوهش نیز از آن استفاده شد [23].

6- نحوه‌ی تعیین مدل خرپایی بهینه

چارچوب کلی فرآیند بهینه‌سازی اشاره شده در بخش 5 به خوبی توسط اکثر محققین شناخته شده و کارایی این رابطه‌ها برای رسیدن به طرح‌های بهینه با سختی بیشینه تحت قید حجم مشخص می‌باشد. دو پارامتر تأثیر­گذار بر توپولوژی نهایی، کسر حجمی و شعاع فیلترینگ می‌باشد. کسر حجمی زیاد انتخاب مدل از توپولوژی نهایی را سخت و کسر حجمی کم باعث ایجاد مدلی با سختی پائین می‌شود و مدل به دست آمده بهینه نمی‌باشد. همچنین شعاع فیلترینگ کم باعث شاخه شاخه شدن توپولوژی نهایی و ایجاد مدلی پیچیده برای تحلیل و شعاع فیلترینگ زیاد منجر به ایجاد مدلی با سختی کم می‌شود. معمولاً شعاع فیلترینگ با توجه به مش‌بندی به نحوی معین می‌شود که نه تعداد شاخه‌های توپولوژی نهایی زیاد و نه سازه‌ای با سختی کم و تعداد اعضای کم ایجاد شود. همان طور که قبلاً نیز اشاره شد این  رابطه‌بندی، توپولوژی نهایی را به نحوی به دست می‌آورد که انرژی کرنش آن در حالت تعادل کمینه باشد، لذا از درون یابی اعضای توپولوژی نهایی می‌توان یک مدل خرپایی متعادل و بهینه پیشنهاد کرد.

7- اجزاء محدود غیرخطی

در این تحقیق از روش تحلیل غیرخطی استاتیک جنرال با الگوریتم همگرایی نیوتن- رافسون استفاده شده است. برای مدل‌سازی دیوار برشی با بازشو از المان پیوسته^[6] یا جامد^[7] شش وجهی هشت گرهی، دارای سه درجه آزادی انتقالی در هر گره با روش انتگرال‌گیری کامل خطی که در نرم‌افزار آباکوس با C3D8 نشان داده می­شود، استفاده گردیده است. همچنین به منظور مدل سازی آرماتورهای داخل دیوار­های برشی، از المان T3D2  از نوع المان‌های خرپایی با دو گره انتهایی استفاده شده است. این المان دارای سه درجه انتقالی در هر گره خود بوده که کلاً دارای 6 درجه آزادی می‌باشد.

جهت ساده‌سازی تحلیل در مدل عددی فرض بر این است که بین آرماتور و بتن مهار کامل برقرار باشد، بدین منظور درجات آزادی میلگرد مستقل از درجات آزادی بتن اطراف نیست. برای لحاظ کردن این مسئله قابلیتی به نام مدفون شده^[8] در نرم‌افزار گنجانده‌شده است. به‌وسیله‌ی این قابلیت قطعه­ای را می‌توان در درون قطعه­ای دیگر قرارداد، به صورتی­که درجات آزادی قطعه­ی درون با استفاده از درجات آزادی اطراف آن، از قطعه­ی بیرونی درون­یابی شوند. برای قسمت خطی بتن از ویژگی الاستیک^[9] در کتابخانه مصالح از پیش تعریف‌شده نرم­افزار آباکوس استفاده‌شده، که در آن از مدول الاستیسیته و نسبت پواسون استفاده می‌شود [24]؛ و برای تعریف حالت غیرخطی بتن از مدل رفتاری بتن آسیب‌دیده خمیری^[10] استفاده‌ شده است. برای تعیین پارامترهای فشاری و کششی بتن به ترتیب از منحنی تنش و کرنش مقاله ناه و همکاران [25] و ماتسومارا و همکاران [26] و برای تعیین مدول الاستیسیته اولیه و کرنش نظیر مقاومت نهایی بتن از مقاله واهالاتانتری و همکاران [27] استفاده ‌شده است.

8- مسائل عددی

در این قسمت برای بررسی کارایی روش پیشنهادی سه مسئله‌ی نمونه مورد بررسی قرار می‌گیرد. مسئله‌ی اول دیوار برشی با بازشوی میانی، مسئله‌ی دوم دیوار برشی با بازشوی نامتقارن تحت بارگذاری متقابل معکوس (لرزه‌ای) و مسئله‌ی سوم دیوار برشی با بازشوی بزرگ نامنظم می‌باشد. در بسیاری از مراجع برای مقایسه‌ی مدل‌های پیشنهادی برای یک نمونه و تعیین مدل خرپایی بهینه و مناسب، به مقایسه‌ی نسبت بار نهایی به کل وزن میلگرد مصرفی  مدل‌ها (عدد کارایی) پرداخته‌اند [28 و 29]. در این پژوهش نیز از این روش برای بررسی کارایی مدل‌های پیشنهادی استفاده شد. از این رو مدل‌های پیشنهادی با نرم‌افزار CAST تحلیل و طراحی شدند و با استفاده از نرم‌افزار آباکوس به تحلیل اجزاء محدود غیرخطی آن‌ها پرداخته شد. نرم‌افزار CAST یکی از نرم‌افزار‌های متداول برای تحلیل و طراحی به روش مدل خرپایی می‌باشد که خوانندگان برای آشنایی بیشتر با این نرم‌افزار می‌توانند مراجع [30 و 31] را مطالعه کنند.

8-1- مسئله‌ی نمونه 1: دیوار برشی با بازشوی میانی

در این مسئله به بررسی مدل‌های پیشنهادی برای یک دیوار برشی با بازشوی میانی پرداخته شده است. مشخصات هندسی و محل بازشو دیوار در شکل 1 مشاهده می‌شود. برای دیوار از بتن با ضریب پواسون 2/0، مقاومت فشاری MPa 25 و فولاد با مقاومت کششی MPa 400 استفاده شد. از 40 المان چهارگرهی تنش مسطح در جهت افقی و 44 المان در جهت قائم برای مش‌بندی و برای نشان دادن تأثیر کسر حجمی از دو کسر حجمی 45/0 و 6/0 استفاده شد. برای اعمال جریمه و جلوگیری از ناپایداری عددی در فرآیند بهینه‌سازی به ترتیب ضریب جریمه‌ی پیوسته [3-1] و شعاع فیلترینگ 8/1 در نظرگرفته شد. توپولوژی‌های به دست آمده برای این دیوار برای هر دو کسر حجمی 45/0 و 6/0 در شکل‌ 2 مشاهده می‌شود.‌ مدل‌های خرپایی مطابق با توپولوژی و مدل خرپایی پیشنهادی با قید ساخت در شکل 3 نشان داده شده است. تمامی نمونه‌ها با نرم‌افزار CAST و با فرض ضخامت mm80 و بار kN 80 طراحی و برای جلوگیری از گسیختگی عضو بطری شکل از یک مش ثابت فولادی در تمامی نمونه‌ها استفاده شد. نتایج حاصل از طراحی در جدول 1 و نتایج تحلیل اجزاء محدود غیر‌خطی در جدول 2 و نمودار شکل 4 خلاصه شده است.

شکل 2- توپولوژی نهایی دیوار برشی با بازشو میانی

8-1-1- بررسی نتایج حاصل از تحلیل

 از جدول 2 مشخص است که مدل توپولوژی با کسر حجمی 6/0 عدد کارایی بهتری نسبت به سایر مدل‌ها دارد و این بدان جهت است که با افزایش کسر حجمی، مقدار انرژی کرنشی کاهش پیدا می‌کند. همچنین وزن فولاد تسلیح اصلی مورد نیاز این مدل از دو مدل دیگر کمتر می‌باشد؛ که حدوداً 40٪ از وزن میلگرد مدل با قید ساخت و 4/5 ٪ از مدل توپولوژی با کسر حجمی 45/0 کمتر می‌باشد. اما به علت محدودیت‌های اجرایی و سطح مقطع میلگرد موجود، وزن میلگرد مصرفی این مدل از مدل توپولوژی با کسر حجمی 45/0 بیشتر می‌شود. این نشان می‌دهد هر چه مدل از تعداد شاخه‌های بیشتر و اعضای شکسته‌تری تشکیل شده باشد هم اجرای آن دشوارتر می‌باشد و هم  فولاد تسلیح مصرفی آن بیش از فولاد تسلیح مورد نیاز می‌شود. از این رو مدل انتخابی باید به نحوی باشد که هم از نظر اجرایی ساده باشد و هم از نظر میلگرد مصرفی کمینه باشد. معمولاً مدل توپولوژی با کسر حجمی 35/0 تا 45/0 منجر به نتایج مطلوب می‌شود.

از جدول 2 مشخص است که تمامی نمونه‌ها بار بیشتری از بار طراحی تحمل می‌کنند و تحت بار طراحی و سرویس (kN 60( رفتار خوبی از خود نشان می‌دهند که این بیانگر محافظه‌کار بودن طراحی به شیوه‌ی مدل خرپایی می‌باشد. به هر حال از چیدمان به دست آمده برای این دیوار مشخص است که میلگرد گذاری مورب اطراف بازشو منجر به رفتار مطلوب برای دیوار برشی دارای بازشو می‌شود. لازم به ذکر است استفاده از کسر حجمی کوچکتر از 3/0 منجر به حذف برخی از اعضای مورد نیاز از توپولوژی نهایی می‌شود و مدل حاصل شده با جهت‌گیری تنش‌ها تطابق نخواهد داشت [7].

8-2- مسئله‌ی نمونه 2: دیوار برشی با بازشوی نامتقارن یک طبقه

در این مسئله به بررسی مدل‌های پیشنهادی برای دیوار برشی با بازشوی نامتقارن پرداخته شده است. این دیوار از مرجع [32] انتخاب شده،  مشخصات هندسه و محل بازشو‌ها در شکل 5 مشاهده می‌شود. برای رسیدن به توپولوژی مطلوب در این مسئله از کسر حجمی 45/0، ضریب جریمه‌ی پیوسته [5-1] ، شعاع فیلترینگ 9 و برای مش‌بندی از 225 المان‌ تنش مسطح چهار گرهی در جهت افقی و 193 المان در جهت قائم استفاده شد. توپولوژی به دست آمده برای دیوار تحت بار رفت و برگشت و مدل‌های خرپایی پیشنهادی در شکل‌های 6 و 7  مشاهده می‌شود.

مدل پیشنهادی در شکل 8 با استفاده از بهینه‌سازی توپولوژی بر پایه‌ی عملکرد (PBO) که توسط لی‌یانگ در سال 1998 مطرح شد، به دست آورده شده است. این مدل و مدل قید ساخت هر دو از مرجع [32] برای این دیوار برشی انتخاب شده‌اند. سه مدل همانند مسئله‌ی قبل با استفاده از نرم‌افزار CAST برای ضخامت mm 80  و بار ضریب‌دار kN 80 تحلیل و طراحی شدند و برای جلوگیری از گسیختگی عضو بطری شکل از یک مش ثابت فولادی در تمامی نمونه‌ها استفاده شد. مقاومت فشاری بتن MPa25، ضریب پواسون آن 2/0 و مقاومت کششی فولاد MPa 400 در نظر گرفته شد. وزن میلگرد مصرفی  و نتایج اجزاء محدود غیرخطی بار رفت و برگشت به ترتیب در جداول 3 و4 و نمودارهای شکل 10 و 11  خلاصه شده است.

8-2-1- بررسی نتایج حاصل از تحلیل

با توجه به جدول 3 و 4 مشخص است که تحت بار رفت و برگشت مدل توپولوژی نسبت بار نهایی به وزن میلگرد مصرفی (عدد کارایی) بیشتری نسبت به سایر مدل‌ها دارد و این بیانگر مناسب بودن مدل پیشنهادی به این روش می‌باشد.

باید توجه داشت که وزن فولاد تسلیح اصلی مدل توپولوژی تحت بار رفت تقریباً 7٪ بیشتر از فولاد تسلیح اصلی مدل با قید ساخت می‌باشد و بار نهایی مدل توپولوژی 2/3٪ بیشتر از مدل قید ساخت می‌باشد.  در این حالت عدد کارایی مدل توپولوژی اندکی بهتر از مدل قید ساخت می‌باشد و این بیانگر آن است که چیدمان بهینه‌ی فولاد به دست آمده از توپولوژی، هر دو معیار مصرف فولاد کمینه و بار نهایی بیشینه را هم­زمان برآورده می‌کند. تحت بار برگشت وزن فولاد تسلیح اصلی مدل توپولوژی 8/30٪ کمتر از مدل با قید ساخت می‌باشد و در این حالت بار نهایی مدل توپولوژی 7/34٪ بهتر از مدل با قید ساخت می‌باشد.

وزن میلگرد مصرفی موجود در طرح نهایی ناشی از هر دو حالت بارگذاری رفت و برگشت برای مدل توپولوژی kg 65/7 می‌باشد این در حالی است که این مقدار برای مدل PBO و مدل با قید ساخت به ترتیب kg 1/8 و kg 83/8 می‌باشد و این یعنی  وزن میلگرد مصرفی در طرح نهایی مدل توپولوژی4/13٪ کمتر از مدل با قید ساخت می‌باشد. همچنین مقایسه‌ی نتایج مدل توپولوژی و مدل PBO اصلاح شده نشان می‌دهد، رابطه‌ی استفاده شده در مسئله‌ی بهینه‌سازی توپولوژی برای رسیدن به مدل خرپایی، رابطه‌ی مناسبی بوده و منجر به کاهش میزان مصرف میلگرد و افزایش مقاومت نهایی می‌شود، در واقع این رابطه چیدمان فولاد تسلیح را، بهینه به دست می‌آورد.

8-3- مسئله‌ی نمونه 3: دیوار برشی چند طبقه با بازشوی نامتقارن

در این مسئله به بررسی دیوار برشی چند طبقه با بازشوی نامتقارن بزرگ پرداخته شده است. این دیوار از مرجع [33] انتخاب شده و مشخصات هندسه و محل بازشو‌ها در شکل 12 مشاهده می‌شود. برای رسیدن به توپولوژی مطلوب در این مسئله از کسر حجمی 45/0، ضریب جریمه‌ی [5-1]=P، شعاع فیلترینگ 3 و برای مش‌بندی از 125 المان‌ تنش مسطح چهار گرهی در جهت افقی و 260 المان در جهت قائم استفاده شد. توپولوژی به دست آمده برای دیوار تحت بار رفت و برگشت و مدل‌های خرپایی پیشنهادی در شکل‌های 13 و 14 نشان داده شده است. در این مسئله با الهام گرفتن از مدل یانز و همکاران [34] یک مدل با قید ساخت برای این دیوار تحت بار رفت و برگشت پیشنهاد شد (شکل 15). علامت تنش فون مایسس مقیاس شده هر توپولوژی کنار آن نشان داده شده است، که این باعث تشخیص راحت محل قرار گیری اعضای کششی  و نحوه‌ی چیدمان میلگرد در مدل‌های بزرگ مقیاس پیچیده می‌شود، در این‌جا تنش کششی منفی و تنش فشاری با علامت مثبت در نظر گرفته شده است. ضخامت اعضای توپولوژی در واقع میزان باربری اعضا نسبت به اعضای دیگر را نشان می‌دهد [35]. از این رو در این مثال با حذف اعضایی که نیروی کمی تحمل می‌کنند و حذف آن‌ها مشکلی برای تعادل سازه ایجاد نمی‌کند مدل خرپایی اصلاح شده‌ای پیشنهاد شد. حذف اعضای غیر مؤثر در سازه‌های بزرگ مقیاس با بارگذاری پیچیده منجر به کاهش زمان تحلیل و طراحی و بهبود جزئیات اجرایی نهایی (نحوه‌ی میلگرد گذاری) و آسودگی اجرا می‌شود. البته مراجع [36 و 37] نیز به حذف اعضای غیر مؤثر از توپولوژی و تعیین مدل خرپایی ساده‌تر اشاره کرده‌اند. دو مدل همانند مسئله‌ی قبل با استفاده از نرم‌افزار CAST برای ضخامت mm 80  و بار ضریب‌دار kN 80 تحلیل و طراحی شدند و برای جلوگیری از گسیختگی عضو بطری شکل از یک مش ثابت فولادی استفاده شد. مقاومت فشاری بتن MPa 50، ضریب پواسون آن 2/0 و مقاومت کششی فولاد MPa 400 در نظر گرفته شد.